Question

20．已知函数f（x）=e^2x-ae^x+2x是R上的增函数，则实数a的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在R上恒成立，使用换元法将问题转化为二次函数问题解决．

解答 解：f′（x）=2e^2x-ae^x+2，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f′（x））=2e^2x-ae^x+2≥0在R上恒成立，
设e^x=t，则t＞0，
∴2t²-at+2≥0在（0，+∞）上恒成立，
（1）若△=a²-16≤0，解得-4≤a≤4．显然符合题意．
（2）若△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4时，只需令2t²-at+2=0有两个负根即可．
∴$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0．
∴a＜-4．
综上，a的取值范围是a≤4．
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，二次函数的性质，分类讨论思想，属于中档题．