题目内容

4．动点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a，0），B（-a，0）的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（　　）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线的右支D．一条直线

分析 画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F1G=F1E，PD=PE，F2D=F2G，根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，PF1+PF2=F1E+DF2（PD=PE）=F1G+F2D（F1G=F1E）=F1G+F2G=2a，由此入手知M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．

解答 解：如图画出圆M，切点分别为E、D、G，
由切线长相等定理知F1G=F1E，PD=PE，F2D=F2G，
根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，
即有PF1+PF2=F1E+DF2（由于PD=PE）
=F1G+F2D（由于F1G=F1E）
=F1G+F2G=2a，
即为2F2G=2a-2c，F2G=a-c，
即点G与点A重合，
即有点M在x轴上的射影是长轴端点A，
M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的定义，以及圆的切线长定理的运用，考查推理能力，属于中档题．

练习册系列答案
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16．“ab＜0”是“|a-b|=|a|+|b|”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
15．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）（a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）≤0；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．
12．已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，左焦点为F，若直线y=x+c与椭圆交于A，B 两点，且|AF|=3|FB|，则椭圆的离心率为（　　）
A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
19．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程为（　　）
A．y=2x-3B．y=-2x+5C．y=-x+3D．y=x-1
9．已知函数f（x）=|x-a|+m|x+a|．
（Ⅰ）当m=a=-1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}，求实数m的集合．
16．设函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．
13．以集合A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是$\frac{4}{7}$．
14．某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生中随机抽取50名学生，统计他们的数学选课情况，制成如表所示的频率分布表：
课程数学1数学2数学3数学4数学5合计
频数201012ab50
频率0.40.2p0.12q1
（1）求出表中频率分布表中的值，并根据频率分布表估计该校高二年级选修数学4、数学5的学生各约有多少人？
（2）先要从选修数学4和数学5的这（a+b）名学生中任选两名学生参加一项活动，问选取的两名学生都选修数学4的概率为多少？

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