Question

5．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=$\frac{1}{2}$，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率以及△ABF₂的周长为8，求出a，c，b，即可得到椭圆的方程，
（2）求出直线方程与椭圆方程联立，求出A，B坐标，然后求解三角形的面积即可．

解答 解：（1）由题意知，4a=8，所以a=2，
又e=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1．∴b²=2²-1=3．
从而椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x+1）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：5x²+8x=0．
解得：x₁=0，x₂=$-\frac{8}{5}$，
所以y₁=$\sqrt{3}$，y₂=$-\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
则S=c|y₁-y₂|=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．