Question

18．已知f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a（x∈R）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的取值范围，讨论a的取值，从而求出使|f（x）|≤2的a的取值范围；
（2）x∈[0，$\frac{3π}{4}$]时，求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的取值，由f（x）=0得出$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）=a-1，讨论a的取值，求出使f（x）=0时有两个零点的a的取值范围．

解答 解：（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；
∴a=0时，f（x）=1，满足题意；
a＞0时，有a+1-a≤f（x）≤$\sqrt{2}$a+1-a，
即$\sqrt{2}$a+1-a≤2，
解得0＜a≤$\sqrt{2}$+1；
当a＜0时，$\sqrt{2}$a+1-a≤f（x）≤a+1-a，
即$\sqrt{2}$a+1-a≥-2，
解得0＞a≥-3$\sqrt{2}$-3；
综上，实数a的取值范围是[-3$\sqrt{2}$-3，$\sqrt{2}$+1]；
（2）x∈[0，$\frac{3π}{4}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]；
当f（x）=0时，$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a=0，
即$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）=a-1；
所以a=0，有0=-1，不成立；
a＞0时，有a≤a-1＜$\sqrt{2}$a，a不存在；
a＜0时，有$\sqrt{2}$a＜a-1≤a，解得a＜-$\sqrt{2}$-1；
综上，实数a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．