Question

4．已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象经过最高点（1，2），且相邻两对称轴间的距离为2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（1-x），x∈[-3，3]，求使得g（t）=3成立的实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可得到结论．
（2）化简函数g（x），解方程即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）=Asin²（ωx+φ）=A•$\frac{1-cos（2ωx+2φ）}{2}$=-$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{A}{2}$，
∵f（x）图象经过最高点（1，2），且相邻两对称轴间的距离为2．
∴A=2，$\frac{T}{2}$=2，即T=4=$\frac{2π}{2ω}$，则ω=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+2φ）+1，
当x=1时，$\frac{π}{2}$+2φ=2kπ+π，
则φ=kπ+$\frac{π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{4}$，
则f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）+1=sin$\frac{π}{2}$x+1．
（2）g（x）=f（x）+f（1-x）=sin$\frac{π}{2}$x+1+sin$\frac{π}{2}$（1-x）+1=2+sin$\frac{π}{2}$x+cos$\frac{π}{2}$x=2+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）
由g（t）=3得2+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=3，
即$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=1，
即sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵t∈[-3，3]，
∴$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$=-$\frac{5π}{4}$或$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
则t=-3，或t=0，或t=1．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大．