Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在点（0，-3）处的切线与直线2x+y=0平行，设两数g（x）=xf（x）+4x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并求g（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，得到关于a，b的方程组，由此能求出f（x），求出g（x）的表达式，从而求出g′（x），列表讨论能求出函数g（x）的单调递增区间；
（2）结合（1）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=2a+b=0}\\{f′（0）=b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1．

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 $\frac{4}{27}$	↓	极小值0	↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）．
（2）由（1）得：g（x）在[0，$\frac{1}{3}$]递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，2]递增，
而g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，g（0）=0，g（1）=0，g（2）=2，
∴函数g（x）的最大值为2，最小值为0．

点评 本题考查导数在求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．