Question

20．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x-a}，x≤a}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞a}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在其定义域内单调，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用配方法化简解析式，对a进行分类讨论，分别由指数函数和一元二次函数的单调性，判断f（x）的单调性，结合条件列出不等式求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x-a}，x≤a}\\{-（{x-a）}^{2}+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
当0＜a＜1时，因为y=a^x-a在（-∞，a]上递减，
y=-（x-a）²+2a在（a，+∞）上递减，且f（x）在其定义域内单调，
所以a^a-a≥-（a-a）²+2a，解得a≤$\frac{1}{2}$，则0＜a≤$\frac{1}{2}$；
当a＞1时，因为y=a^x-a在（-，a]上递增，
y=-（x-a）²+2a在（a，+∞）上递减，所以f（x）在其定义域内不单调，
所以不成立，
综上 可得，实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查分段函数的单调性，函数单调性定义的应用，考查指数函数和一元二次函数的单调性，注意端点处的函数值大小关系．