Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x．
（1）当a=5时，求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（2）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出h（x）的导数，得到h（x）的单调区间，求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，其中x＞0．
因为a=5，又x＞0，所以$x+\frac{4}{x}-3≥4-3=1$，
当且仅当x=2时取等号，其最小值为1；…（4分）
（2）当a=3时，h（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-3x，
h′（x）=x+$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，…（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	递增	-$\frac{5}{2}$	递减	2ln2-4	递增

函数h（x）在x=1处取得极大值-$\frac{5}{2}$，在x=2处取得极小值2ln2-4．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．