已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$均为单位向量.它们的夹角为60°．(Ⅰ)求|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|(Ⅱ)若x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$均为单位向量，它们的夹角为60°．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|
（Ⅱ）若x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$垂直，求x的值．

分析（Ⅰ）可知$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1$，并且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$，根据向量数量积的运算便可求出$（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）^{2}=7$，这样即可得出|$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$|的值；
（Ⅱ）根据向量垂直的充要条件以及向量数量积的运算便可得出$\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）=0$，这样即可求出x的值．

解答解：（Ⅰ）根据条件，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9{\overrightarrow{b}}^{2}$=1-3+9=7；
∴$|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$；
（Ⅱ）∵$x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$垂直；
∴$（x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}）=x{\overrightarrow{a}}^{2}+（{x}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-x$${\overrightarrow{b}}^{2}$=$x+\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）-x$
=$\frac{1}{2}（{x}^{2}-1）$=0；
∴x=±1．

点评考查单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，以及要求向量长度而求向量长度平方的方法，向量垂直的充要条件．