Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

Answer 1

分析 把函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx有且只有一个零点转化为方程k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有且只有一根，构造函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求出函数的导函数，再求其极值，数形结合得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx=0，得$\frac{{e}^{x}}{x}$=kx，
∵x≠0，∴k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
且当x＜0，时，g（x）∈（0，+∞），
∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，
∴0＜k＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故答案为：（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求函数的极值，熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，是中档题．