Question

13．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线与圆：（x-3）²+y²=1都相切，则双曲线C的离心率是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a²=8b²，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆：（x-3）²+y²=1的圆心为（3，0），半径为1，
由直线和圆相切的条件可得，d=$\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
化为a²=8b²，
由b²=c²-a²，可得8c²=9a²，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，
可得e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查点到直线的距离公式的运用，运算化简能力，属于中档题．