Question

8．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a），（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=-4x+1平行，求a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞）都有f（x）≥x²-x，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得a的值；
（Ⅱ）由题意可得a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）=a（e^x-a）-x，求出导数，对a讨论，a＜0，a＞0，求得单调区间和极值、最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=a（xe^x-a），
∵f（x）在（0，f（0））处切线与直线y=-4x+1，
∴f′（0）=-a²=-4，解得：a=±2．                                     
（Ⅱ）依题意，“对任意x∈[1，+∞），f（x）≥x²-x”
等价于“a（e^x-a）≥x在x∈（1，+∞）上恒成立”．
令g（x）=a（e^x-a）-x，则g'（x）=ae^x-1．                     
（1）当a＜0时，g'（x）＜0，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上单调递减，
又g（1）=a（e-a）-1=ea-a²-1＜0，不合题意，舍去．        
（2）当a＞0时，g'（x）=ae^x-1=0得x=ln$\frac{1}{a}$，

	（-∞，ln$\frac{1}{a}$）	（ln$\frac{1}{a}$，+∞）
g'（x）	-	+
g（x）	单调递减	单调递增

①当ln$\frac{1}{a}$≤1，即a≥$\frac{1}{e}$时，g（x）=a（e^x-a）-x在x∈[1，+∞）上单调递增，
得g（x）_min=g（1），
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得g（1）≥0，
即$\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$，
又a≥$\frac{1}{e}$，得 $\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$；
②当ln$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{e}$时，由上表可知g（x）_min=g（ln$\frac{1}{a}$），
由a（e^x-a）-x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，得g（ln$\frac{1}{a}$）≥0，即1+lna-a²≥0．
令h（a）=1+lna-a²，则h（a）=$\frac{1}{a}$-2a=$\frac{1-{2a}^{2}}{a}$，
由h（a）=0得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），

	（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）	（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
h'（a）	+	-
h（a）	单调递增	单调递减

由上表可知h（a）=1+lna-a²在0＜a＜$\frac{1}{e}$上单调递增，
则h（a）＜h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜0，故不等式h（a）=1+lna-a²≥0无解．
综上所述，$\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$≤a≤$\frac{e+\sqrt{{e}^{2}-4}}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．