Question

10．下列函数中，最小值为2的是（　　）

• A． y=$\frac{1}{x}$+x （x＜0）
• B． y=$\frac{1}{x}$+1 （x≥1）
• C． y=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2  （x＞0）
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$

Answer 1

分析 由基本不等式判断A、C；运用函数的单调性即可判断B、D．

解答 解：A，x＜0，-x＞0，则y=-[（-x）+$\frac{1}{-x}$]≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}$=-2，当且仅当x=-1取得最大值-2，故A错；
B，y=$\frac{1}{x}$+1 （x≥1）为减函数，函数有最大值2．故B错；
C，y=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2 （x＞0），运用基本不等式可得$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$-2≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$-2=2，当且仅当x=4，取得最小值2，故C正确；
D，y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，由t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$＞1，由y=t+$\frac{1}{t}$在t≥$\sqrt{2}$递减，可得函数的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故D错．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．