Question

16．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD=2，AC=$\sqrt{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠ACO，从而判断OC∥AD即可；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB的长求出．

解答 （1）证明∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，∴OC∥AD．
（2）解：由（1）知OC∥AD且OC⊥DC，
∴AD⊥DC，即∠ADC=90°，
连接BC，如图示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，
又∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵AD=2，AC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了圆的切线问题，考查三角形相似的应用，是一道中档题．