Question

13．设双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F₁，F₂，A为双曲线上的一点，且F₁F₂⊥AF₂，若直线AF₁与圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，在双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 求出直线AF₁的方程，利用直线AF₁与圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，建立方程，即可得出结论．

解答 解：由题意，F₁（0，c），F₂（0，-c），则A（$\frac{{b}^{2}}{a}$，-c），
∴直线AF₁的方程为y-c=-$\frac{2ac}{{b}^{2}}$x，即2acx+b²y-b²c=0，
∵直线AF₁与圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，
∴$\frac{{b}^{2}c}{\sqrt{4{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}}}$=$\frac{c}{3}$，
∴$\sqrt{2}{b}^{2}$=ac，
∴$\sqrt{2}{e}^{2}-e-\sqrt{2}$=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．