Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面α，AD、BD和平面α所成的角分别为30°和45°，CD=h，求D点到直线AB的距离．

Answer 1

分析 连AC，BC，过D作DE^AB，连CE，则DE为D到直线AB的距离．

解答 解：连AC，BC，过D作DE^AB，连CE，则DE为D到直线AB的距离．∵CD^α，∴AC，BC分别是AD，BD在α内的射影．
∴? DAC，? DBC分别是AD和BD与平面α所成的角，
∴? DAC=30°，? DBC=45°，
在Rt△ACD中，∵CD=h，? DAC=30°，∴AC=$\sqrt{3}$h，
在Rt△BCD中，∵CD=h，? DBC=45°，∴BC=h，
∵CD^α，DE^AB，∴CE^AB，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2h，S=$\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•CE$，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}h•h}{2h}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}h）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}h$，
∴点D到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{7}}{2}$h．

点评 本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．