Question

已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)，
(Ⅰ)求实数b的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(e)=2得b=2；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=-ax+2+axlnx，从而f'(x)=alnx，
因为a≠0，故：
(1)当a＞0时，由f'(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1；
(2)当a＜0时，由f'(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1；
综上，当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0，1)。
(Ⅲ)当a=1时，f(x)=-x+2+xlnx，f'(x)=lnx，
由(Ⅱ)可知，当x在区间(，e)内变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

又，所以函数f(x)()的值域为[1，2]，
据此可知，若则对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)()都有公共点；
并且对每一个t∈(-∞，m)∪(M，+∞)，直线y=t与曲线y=f(x)()都没有公共点．
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)()都有公共点。