Question

18．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则下列命题中：
①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．
③到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．
④若A为坐标原点，B在直线x+y-2$\sqrt{5}$=0上，则d（A，B）的最小值为2$\sqrt{5}$．
真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答 解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，
则d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=d（A，B）成立，故①正确；
在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=d（A，B）③，故②错误；
到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x-1|+|y|}，
由|x+1|=|x-1|，解得x=0，
∴到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；
设B（x，y），则d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|2$\sqrt{5}$-x|≥2$\sqrt{5}$，即d（A，B）的最小值为2$\sqrt{5}$，故④正确；
综上知，正确的命题为①③④，共3个．
故选：C．

点评 本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．