Question

下列命题：

①中，若,则；

②若A，B，C为的三个内角，则的最小值为

③已知，则数列中的最小项为；

④若函数，且，则；

⑤函数的最小值为. 

其中所有正确命题的序号是        

 

Answer 1

【答案】

②③

【解析】

试题分析：①△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理

得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin²A，cos2B=1-2sin²B，

所以cos2A＞cos2B，①错误．

②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π

所以=1，

原式等价于

= ，

当且仅当，即α=2β时取等号．所以②正确．

③因为=2+，因为1≤≤3，

所以设t=，则1≤t≤3．因为函数y=t+-2在区间（0，4）上单调递减，所以在[1，3]上单调递减，因此，当t=3时，函数有最小值3+-2=，则对应数列{a_n}中的最小项为，所以③正确．

④令g（x）=，则函数g（x）的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知，分别看作函数f（x）=log₂（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，由图象可知，，所以④错误．

⑤因为，，问题转化成点P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距离之和的最小值。原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D（1，-2）．

则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为|PD|=．

所以，⑤错误．故答案为：②③．

考点：正弦定理的应用，均值定理的应用，对号函数的性质，对数函数的图象和性质。

点评：难题，本题综合性较强，难度较大。灵活的对问题实施转化，是解题的关键。