Question

5．已知函数f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（$\frac{π}{12}}$）=sinA，其中A是面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．可得函数的最小正周期为$\frac{π}{2}$，根据周期公式，可求ω的值；
（II）根据f（$\frac{π}{12}}$）=sinA得出A，根据三角形的面积得出AC，利用余弦定理求出BC．

解答 解：（I）∵f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）
∵直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$，
∴函数的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2．
则f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴4x+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{5π}{3}$]，
∴当4x+$\frac{π}{3}$=π即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）的最小值是0；当4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$即x=$\frac{7π}{24}$时，f（x）的最大值是-1；
（II）∵f（$\frac{π}{12}}$）=sin（4×$\frac{π}{12}}$+$\frac{π}{3}$）=sinA，
∴inA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵A是锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=3．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=7，
∴BC=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，属于基础题．