Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$ （θ为参数）（1）．直线l的极坐标方程与椭圆C的普通方程（2）设P（1，0）直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段||PA|-|PB||的长．

Answer 1

分析 （1）消去参数t可得直线的普通方程，ρcosθ=x，ρsinθ=y带入可得直线的极坐标方程；根据sin²θ+cos²θ=1消去参数θ可得椭圆C的普通方程．
（2）利用直线参数方程的几何意义，将参数方程带入椭圆C的普通方程，根据韦达定理求解即可．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t可得：y=$\sqrt{3}$（x-1），即y=$\sqrt{3}x-3$
根据=x，ρsinθ=y，可得直线的极坐标方程为：ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ+3=0
椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$ （θ为参数），可得：$\frac{x}{2}=cosθ$，$\frac{y}{\sqrt{3}}=sinθ$
∵sin²θ+cos²θ=1
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
故得椭圆C的普通方程为∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
得：$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，即5t²+4t-12=0，
解得：${t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}$，${t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$．
故得：$AB=||{t_1}|-|{t_2}||=|{t_1}+{t_2}|=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题