Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过圆x²+y²=$\frac{12}{7}$上一点（$\frac{6}{7}$，$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）作圆的切线，切线l恰好经过椭圆的右顶点和上顶点，A为椭圆上异于长轴顶点的任意一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P（4，0），直线AP与椭圆的另一个交点为B，直线BF与椭圆的另一个交点为C，设直线AP的斜率为k₁，直线BF的斜率为k₂，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：求得切线方程，求得顶点坐标，求得a和b的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）设A，B和C点坐标，分别将直线AP和BF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得x₁•x₂和x₂•x₃，求得x₂=x₃，y₂=-y₁，由向量的数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$的取值范围．

解答 解：（1）过点（$\frac{6}{7}$，$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）的切线方程为$\frac{6}{7}x$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$y=$\frac{12}{7}$，即3x+2$\sqrt{3}$y=6，
右顶点（2，0），上顶点（0，$\sqrt{3}$），
即a=2，b=$\sqrt{3}$，
椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由题意知：AP的方程为y=k₁（x-4），
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4${k}_{1}^{2}$+3）x²+32${k}_{1}^{2}$+64${k}_{1}^{2}$-12=0，
x₁•x₂=$\frac{64{k}_{1}^{2}-12}{4{k}_{1}^{2}+3}$=16-$\frac{60}{4{k}_{1}^{2}+3}$，
将k₁=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$，${y}_{2}^{2}$=3-$\frac{3}{4}{x}_{2}^{2}$，代入得：x₁•x₂=$\frac{8{x}_{2}-5{x}_{2}^{2}}{5-2{x}_{2}}$，
BF的方程，y=k₂（x-4），代入椭圆方程，
整理得：（4${k}_{2}^{2}$+3）x²-8${k}_{2}^{2}$x+4${k}_{2}^{2}$-12=0，
x₂•x₃=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12}{4{k}_{2}^{2}+3}$=1-$\frac{15}{4{k}^{2}+3}$，
将k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，${y}_{2}^{2}$=3-$\frac{3}{4}$${x}_{2}^{2}$，代入得：x₂•x₃=$\frac{8{x}_{2}-5{x}_{2}^{2}}{5-2{x}_{2}}$，
∴x₂=x₃，
又AC不重合，
∴y₂=-y₁，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$=（x₁-4，y₁）•（x₁-1，-y₁），
=${x}_{1}^{2}$-5x₁+4-${y}_{1}^{2}$，
=$\frac{7}{4}$${x}_{1}^{2}$-5x₁+1，
=$\frac{7}{4}$（x₁-$\frac{10}{7}$）²-$\frac{18}{7}$，（-2＜x₁＜2），
∴-$\frac{18}{7}$≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$＜18．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，圆与椭圆的位置关系，一元二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．