Question

已知函数f（x）=（x+α）cosx为奇函数，则a=

 

；现将函数f（x）的图象沿x轴向左平移

π

2

个单位，得到的图象所对应的函数记为g（x），那么其解析式g（x）=

 

；且函数g（x）图象的对称中心为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由题意可得设g（x）=x+a，则g（x）为奇函数，有g（-x）=-x+a=-g（x）=-（x+a），从而解得a的值．由f（x）=xcosx，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x），由正弦函数的图象和性质可得函数g（x）图象的对称中心．

解答： 解：∵函数f（x）=（x+α）cosx为奇函数，cosx为偶函数，
∴设g（x）=x+a，则g（x）为奇函数，
∴g（-x）=-x+a=-g（x）=-（x+a），从而解得：a=0．
∴f（x）=xcosx，
∴将函数f（x）的图象沿x轴向左平移

π

2

个单位，得到的图象所对应的函数记为g（x），那么其解析式g（x）=xcos（x+

π

2

）=-xsinx，
∴由正弦函数的图象和性质可得函数g（x）图象的对称中心为：（kπ，0）．
故答案为：0，-xsinx，（kπ，0）．

点评：本题主要考查了奇函数的定义和性质，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．