Question

设函数y=f（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函数f（x）=

lnx+1

ex

，恒有f_K（x）=f（x），则（　　）

• A、K的最大值为

  1

  e

• B、K的最小值为

  1

  e

• C、K的最大值为2
• D、K的最小值为2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件可得k≥f（x）_max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答：解：∵函数f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
∴等价为K≥f（x）_max，
∵f（x）=

lnx+1

ex

，
∴f′（x）=

1 x ?ex-(lnx+1)ex

(ex)2

=

1 x -(lnx+1)

ex

，
设g（x）=

1

x

-(lnx+1)，
则g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即

1

x

-(lnx+1)=0，
解出x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=

ln1+1

e

=

1

e

．
故当k≥

1

e

时，恒有f_k（x）=f（x）
因此K的最小值为

1

e

．
故选：B．

点评：本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，仔细解答．综合性较强，有一定的难度．