Question

15．等比数列{a_n}的各项均为正数，且$2{a_1}+3{a_2}=1，{a_3}^2=9{a_2}{a_6}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等比数列的公比，进一步求得首项，代入等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，得到数列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的通项公式，利用裂项相消法求得数列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由${{a}_{3}}^{2}=9{a}_{2}{a}_{6}$，得${{a}_{3}}^{2}=9{{a}_{4}}^{2}$，解得${q^2}=\frac{1}{9}$，
由条件可知a_n＞0，故$q=\frac{1}{3}$．
由2a₁+3a₂=1，得2a₁+3a₁q=1，∴${a_1}=\frac{1}{3}$，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$；
（2）${b_n}={log_3}{a_1}+{log_3}{a_2}+…+{log_3}{a_n}=-（1+2+…+n）=-\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$-\frac{1}{b_n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=（-\frac{1}{b_1}）+（-\frac{1}{b_2}）+…+（-\frac{1}{b_n}）=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．
∴数列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．