Question

8．已知函数f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$，若关于x的方程f（x）+k=0在区间[0，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• C． （-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． （-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 化简f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）；由题意知$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$；从而可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），利用数形结合的方法求解即可．

解答 解：f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）；
∵|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$；
∴ω=2；
f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），
作f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{4}$]上的图象如下，
，
f（0）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{24}$）=1；
∵关于x的方程f（x）+k=0在区间[0，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的实数解，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+k≤0＜1+k；
∴-1＜k≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用及数形结合的思想应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用．