Question

8．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，其中对?x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁≠x₂均有x₁g（x₁）+x₂g（x₂）＞x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（0）=1，若不等式f（x-a）≤1（a∈R）的解集为D，且2e∈D（e为自然对数的底数），则a的最小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 根据函数的单调性的定义可得g（x）在（-∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f（x）的简图，利用树形结合的思想即可求出．

解答 解：对?x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁≠x₂均有x₁g（x₁）+x₂g（x₂）＞x₁g（x₂）+x₂g（x₁），
∴[g（x₂）-g（x₁）]（x₂-x₁）＞0，
∴g（x）在（-∞，0]内单调递增，
根据题意作出函数f（x）的简图，如图所述，
令f（x）≤1，由f（x）的图象可知x≤e，
若f（x-a）≤1，则x≤e+a，
∴D=（-∞，e+a]，
又2e∈D，
∴2e≤a+e，
∴a≥e，则a的最小值是e，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性和函数的单调性的应用，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题．