Question

抛物线C：y²=

6

x，其焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线l与C交于A、B两点，点P为不在直线l上的任一点，且|

PA

|²+|

PB

|²=4，则|2

PA

+

PB

|²的取值范围是（　　）

• A、（6-3

  3

  ，6+3

  3

  ）
• B、[6-3

  3

  ，6+3

  3

  ]
• C、（6-3

  3

  ，6+3

  3

  ]
• D、[6-3

  3

  ，6+3

  3

  ）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先，得到|

PA

||

PB

|≤2，然后，从而得到-1＜cosθ≤-

1

2

，然后，设|

PA

|=x，则|

PB

|²=4-x，从而得到要求的范围．

解答：解：结合题目，得

|BA

|=

6

，
∴|

BA

|2=|

PA

-

PB

|2=|

PA

|2+|

PB

|2-2

PA

•

PB

=4-2

PA

•

PB

=6，
∴4=|

PA

|²+|

PB

|²≥2|

PA

||

PB

|，
∴|

PA

||

PB

|≤2，
设向量

PA

和向量

PB

的夹角为θ，
∴cosθ=

PA • PB

| PA || PB |

≤-

1

2

，
∴-1＜cosθ≤-

1

2

，
∴|

PA

||

PB

|=

-1

cosθ

∈（1，2]，
∴|

PA

|²|

PB

|²∈（1，4]，
设|

PA

|=x，∴|

PB

|²=4-x，
∴1＜x（4-x）≤4，
∴2-

3

＜x＜2+

3

．
∴|2

PA

+

PB

|²=4|

PA

|²+|

PB

|²+4

PA

•

PB

=3|

PA

|²=3x，
∴|2

PA

+

PB

|²的取值范围是（6-3

3

，6+3

3

）．
故选：A．

点评：本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识，属于中档题．