Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b-

3

c)cosA=

3

acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，cosB=

4

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知结合正弦定理可求cosA，进而可求A
（2）由cosB结合同角平方关系可求sinB，然后利用诱导公式及两角和的 正弦公式sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，然后由

a

sinA

=

b

sinB

可求 b，代入三角形的面积公式S△ABC=

1

2

absinC可求

解答：解：（1）(2b-

3

c)cosA=

3

acosC
∴（2sinB-

3

cosC）cosA=

3

sinAcosC
即2sinBcosA=

3

sinAcosC+

3

sinCcosA
∴2sinBcosA=

3

sin（A+C）
则2sinBcosA=

3

sinB
∵sinB≠0
∴cosA=

3

2

∵0＜A＜π
则A=

π

6

（2）由cosB=

4

5

可得sinB=

3

5

又cosA=

3

2

，sinA=

1

2

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

由

a

sinA

=

b

sinB

可得b=

asinB

sinA

=

1× 3 5

1 2

=

6

5

∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×1×

4+3 3

10

=

12+9 3

50

点评：本题主要考查了正弦定理、同角平方关系、诱导公式及两角和的正弦公式、三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式