如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E是B1D1的中点．求证:(1)平面A1BD∥平面D1B1C,(2)平面D1B1C⊥平面C1EC．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是B₁D₁的中点．求证：
（1）平面A₁BD∥平面D₁B₁C；
（2）平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

分析（1）先证明四边形A₁B₁CD是平行四边形，可证得 A₁D∥B₁C，由直线和平面平行的判定定理可得A₁D∥平面CB₁D₁．同理可证A₁B∥平面CB₁D₁，由平面与平面平行的判定定理可的平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
（2）证明D₁B₁⊥平面C₁EC，即可证明平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

解答证明：（1）因为A₁B₁∥CD，且A₁B₁=CD，所以，四边形A₁B₁CD是平行四边形，
所以，A₁D∥B₁C，又B₁C?平面CB₁D₁，且A₁D?平面CB₁D₁，
所以，A₁D∥平面CB₁D₁．
同理可证A₁B∥平面CB₁D₁，又A₁D∩A₁B=A₁，
所以，平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
（2）∵E是B₁D₁的中点，
∴D₁B₁⊥C₁E，
∵D₁B₁⊥C₁C，C₁E∩C₁C=C₁，
∴D₁B₁⊥平面C₁EC．
∵D₁B₁?平面D₁B₁C，
∴平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

点评本题考查平面与平面平行、垂直的判定，直线和平面平行的性质，属于中档题．

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