Question

14．某高中学校在2015年的一次体能测试中，规定所有男生必须依次参加50米跑、立定跳远和一分钟引体向上三项测试，只有三项测试全部达标才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳远的测试与男生乙的50米跑测试已达标，男生甲需要参加一分钟引体向上测试，男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试，若甲参加一分钟引体向上测试达标的概率为p，乙参加立定跳远和一分钟引体向上测试达标的概率均为$\frac{1}{2}$，甲、乙每一项测试是否达标互不影响，已知甲和乙同时合格的概率为$\frac{1}{6}$．
（1）求p的值，并计算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三项测试项目中，设甲达标的测试项目数为x，乙达标的测试项目的项数为y，记ξ=x+y，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意，甲和乙同时合格的概率为：$p×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，由此能求出p，记事件A为：“甲测试合格”，事件B为：“乙测试合格”，事件C为：“甲和乙恰好有一个人测试合格”．由P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B），能求出甲和乙恰有一人合格的概率．
（2）由题意知随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由题意，甲和乙同时合格的概率为：$p×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
解得p=$\frac{2}{3}$，
记事件A为：“甲测试合格”，事件B为：“乙测试合格”，事件C为：“甲和乙恰好有一个人测试合格”．
∴P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）
=$\frac{2}{3}$（${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$
=$\frac{7}{12}$，
∴甲和乙恰有一人合格的概率为$\frac{7}{12}$．
（2）由题意知随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=5）=$\frac{2}{3}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
随机变量ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

E（ξ）=$3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{5}{12}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．