Question

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=2$\sqrt{2}$
（1）求sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A的值；（2）若a=$\sqrt{3}$，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．
（2）由已知及余弦定理可得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，利用基本不等式即可计算得解．

解答 解：（1）∵tanA=2$\sqrt{2}$，A∈（0，π），
∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{2}$[1-cos（B+C）]+（2cos²A-1）
=$\frac{1}{2}$（1+cosA）+（2cos²A-1）=-$\frac{1}{9}$．
（2）∵$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=cosA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，
∴bc≤$\frac{3}{4}$a²．
又∵a=$\sqrt{3}$，
∴bc≤$\frac{9}{4}$．
当且仅当b=c=$\frac{3}{2}$时，bc=$\frac{9}{4}$，故bc的最大值是$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．