Question

8．已知直线$l：\sqrt{3}x-y+1=0$，方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圆．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=-2时，试判断直线l与该圆的位置关系，若相交，求出相应弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆的一般式可知半径r=4m²+4-4（m+3）＞0，可得实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=-2时，可得圆的圆心为圆心为（-2，1），半径为r=2，利用圆心到直线的距离与半径比较可得答案，利用弦长公式l=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，可得相应的弦长．

解答 解：（Ⅰ）∵方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圆，
∴4m²+4-4（m+3）＞0⇒m＜-1或m＞2．
∴实数m的取值范围是{m|m＜-1或m＞2}
（Ⅱ）当m=-2时，圆的方程可化为x²+y²+4x-2y+1=0，即（x+2）²+（y-1）²=4．
∴圆心为（-2，1），半径为r=2
则：圆心到直线的距离$d=\frac{{|{-2\sqrt{3}-1+1}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\sqrt{3}＜r$．
∴直线与圆相交．
弦长公式l=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2．
故得弦长为2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，直线被圆截得的弦长的计算．属于基础题．