Question

8．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞），且f（2）=$\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）求f（x）的闭区间[2，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据f（2）=$\frac{3}{2}$，求出n的值，求出函数的解析式即可；
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；
（3）根据函数的单调性求出函数的最值即可．

解答 解：（1）由f（2）=$\frac{3}{2}$，得：2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}$，解得：n=1，
故f（x）=x-$\frac{1}{x}$；
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）f（x）在[2，5]递增，
故f（x）_min=f（2）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
f（x）_max=f（5）=5-$\frac{1}{5}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查求函数的解析式问题，是一道中档题．