Question

已知点F、A、B分别为椭圆的左焦点、右顶点、上顶点，且∠FBA为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是________．

Answer 1

分析：依题意可得，a²+a²+b²＜（a+c）²，而椭圆的离心率e=∈（0，1），从而可求得该椭圆的离心率的取值范围．
解答：依题意作图如下：

其中|BF|=a，|AF|=a+c，|BA|²=a²+b²，
∵∠FBA为钝角，
∴|BF|²+|BA|²＜|AF|²，
即a²+a²+b²＜（a+c）²，
∴c²+ac-a²＞0，等号两边同除以a²得，e²+e-1=0，
∴e＞或e＜（舍），又e∈（0，1），
∴＜e＜1．
∴该椭圆的离心率的取值范围是（，1）．
故答案为：（，1）．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查a，b，c之间关系的灵活应用，考查三角形的性质及椭圆的离心率，考查方程思想与运算能力，属于中档题．