Question

7．已知菱形ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，半圆O所在平面垂直于平面ABCD，点P在半圆弧上．（不同于B，C）．
（1）若PA与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求出点P的位置；
（2）是否存在点P，使得PC⊥BD，若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过O作OM⊥BC，连接OD，则BC⊥平面ABCD，OD⊥BC．以O为原点建立坐标系，则$\overrightarrow{OM}$为平面ABCD的法向量，设∠COP=θ，求出$\overrightarrow{AP}$的坐标，令|cos＜$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$解出θ即可确定P点位置；
（2）令$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}$=0解出θ，根据θ的范围得出结论．

解答 解（1）P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点．
连接OD，在半圆内作OM⊥BC交圆弧于点M，则M为圆弧中点．
∵平面BCP⊥平面ABCD，平面BCP∩平面ABCD=BC，BC⊥OM，
∴OM⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴△BCD是等边三角形，
∴OD⊥BC，于是OD，OC，OM两两垂直．
以O为原点，OD，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设∠COP=θ，θ∈（0，π），则P（0，cosθ，sinθ），A（$\sqrt{3}$，-2，0），∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，cosθ+2，sinθ），
∵OM⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow n=（0，0，1）$为平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{sinθ}{\sqrt{3+（cosθ+2）^{2}+si{n}^{2}θ}}$=$\frac{sinθ}{\sqrt{8+4cosθ}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
解得$cosθ=0，或cosθ=-\frac{1}{2}$
∴$θ=\frac{π}{2}，或θ=\frac{2π}{3}$
P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点．
（2）假设存在点P使得PC⊥BD，设∠COP=θ．
∴P（0，cosθ，sinθ），C（0，1，0），B（0，-1，0），$D（\sqrt{3}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{CP}=（0，cosθ-1，sinθ）$
∵PC⊥BD，∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CP}=0+cosθ-1+0=0$，
解得cosθ=1，则与θ∈（0，π）矛盾，
∴在半圆弧上不存在这样的点P使得PC⊥BD．

点评 本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．