Question

17．设a＞b＞c且$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$恒成立，则m的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 把已知不等式变形，运用a-c=a-b+b-c，然后利用基本不等式求最值得答案．

解答 解：∵a＞c，∴a-c＞0，
由$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$恒成立，得
m≤$\frac{a-c}{a-b}+\frac{a-c}{b-c}=\frac{a-b+b-c}{a-b}+\frac{a-b+b-c}{b-c}$=$2+\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}$恒成立．
又a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0，
则$2+\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}≥2+2\sqrt{\frac{b-c}{a-b}•\frac{a-b}{b-c}}=4$．
当且仅当b-c=a-b，即a+c=2b时上式等号成立．
∴m≤4．
∴m的取值范围是：（-∞，4]．
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查恒成立问题，训练了利用基本不等式求最值，灵活转化a-c=a-b+b-c是解题的关键，是中档题．