Question

9．已知函数f（x）=（$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a）x，a∈R
（1）求函数的定义域
（2）是否存在实数a，使得f（x）为偶函数．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，可得函数的定义域；
（2）利用f（-x）=f（x），求出a．

解答 解：（1）由题意，2^x-1≠0，∴x≠0，
∴函数的定义域为{x|x≠0}；
（2）设f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$+a）x=（$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a）x，
∴2a=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=1，
∴$a=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．