题目内容

平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且|AB|= $数学公式$ ，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m、n．
（1）求∠A=30°，求∠Q
（2）求m²+n²的最大值．

解：（1）由余弦定理得PB²=1+3-2 $\text{[math]}$ cosA，PB²=1+1-2cosQ
∴4-2 $\text{[math]}$ cosA=2-2cosQ，由A=30°求得cosQ= $\text{[math]}$
∴Q=60
（2）m²+n²=（ $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ sinA）²+（ $\text{[math]}$ ×1×1×sinQ）²= $\text{[math]}$ sin²A+ $\text{[math]}$ （1-cos²Q）=- $\text{[math]}$ （cosA- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当cosA= $\text{[math]}$ 时，m²+n²的最大值为 $\text{[math]}$
分析：（1）由余弦定理分别表示出PB，建立等式求得cosQ的值，进而求得Q．
（2）分别利用三角形面积公式表示出m和n，进而代入m²+n²中整理成关于cosA的表达式，根据cosA的范围和二次函数的性质求得函数的最大值．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，二次函数的性质．考查了学生基础知识的掌握和基本运算的能力．