Question

8．样本（x₁，x₂，…，x_n）的平均数为$\overline{x}$，样本（y₁，y₂，…，y_m）的平均数为$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）．若样本（x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_m）的平均数$\overline{z}$=a$\overline{x}$+b$\overline{y}$，并且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{2}$m²+m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪[4，+∞）
• B． （-∞，-4]∪[2，+∞）
• C． （-2，4）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 根据平均数的定义，求出a、b的值，再计算$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值，得出关于m的不等式，求出解集即可．

解答 解：样本（x₁，x₂，…，x_n）的平均数为$\overline{x}$，样本（y₁，y₂，…，y_m）的平均数为$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）；
样本（x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_m）的平均数$\overline{z}$；
所以n$\overline{x}$+m$\overline{y}$=（m+n）$\overline{z}$，
解得$\overline{z}$=$\frac{n}{m+n}$$\overline{x}$+$\frac{m}{m+n}$$\overline{y}$；
所以a=$\frac{n}{m+n}$，b=$\frac{m}{m+n}$，
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{m+n}{n}$+$\frac{m+n}{m}$=2+$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$≥2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=4，
当且仅当m=n时“=”成立，
即$\frac{1}{2}$m²+m＜4，
化简得m²+2m-8＜0，
解得-4＜m＜2，
所以实数m的取值范围是（-4，2）．
故选：D．

点评 本题考查了平均数与不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．