Question

17．设函数f（x）=e^x-ax，x∈R．
（1）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞0；
（3）求证：lnx＜x；
（4）a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（2）证明当x=ln2时，函数最小值是f（ln2）=2-ln2＞0即可；
（3）M（a）=a-lna在（1，+∞）上单调递增，且M（1）=1，即可证明；
（4）f（x）在[0，a]上的最大值等于max{f（0），f（a）}，再进行比较，即可得出结论．

解答 （1）解：当a=2时，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，
所以f′（x）=e^x-2．
所以f′（0）=e⁰-2=-1，即切线的斜率为-1，
所以切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．           …（4分）
（2）证明：由（1）知f′（x）=e^x-2．
令f′（x）=e^x-2=0，则x=ln2．
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以当x=ln2时，函数最小值是f（ln2）=2-ln2＞0．
命题得证．                                                …（8分）
（3）证明：因为f（x）=e^x-ax，所以f′（x）=e^x-a．
令f′（x）=e^x-a=0，则x=lna＞0．
当a＞1时，设M（a）=a-lna，因为M′（a）=$\frac{a-1}{a}$＞0，
所以M（a）=a-lna在（1，+∞）上单调递增，且M（1）=1，
所以M（a）=a-lna＞0在（1，+∞）恒成立，即a＞lna．可得lnx＜x；
（4）解：由（3）当x∈（0，lna），f′（x）＜0，f（x）在（0，lna）上单调递减；
当x∈（lna，a），f′（x）＞0，f（x）在（lna，a）上单调递增．
所以f（x）在[0，a]上的最大值等于max{f（0），f（a）}，
因为f（0）=1，f（a）=e^a-a²，
不妨设h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1（a＞1），
所以h′（a）=e^a-2a．
由（2）知h′（a）=e^a-2a＞0在（1，+∞）恒成立，
所以h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1在（1，+∞）上单调递增．
又因为h（1）=e-2＞0，
所以h（a）＞0在（1，+∞）恒成立，即f（a）＞f（0）．
所以当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e^a-a²．   …（13分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．