Question

1．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：
方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；
方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．
（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；
（Ⅱ）试比较哪一种方案好．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．

解答 解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，
则P（A）=0.25，P（B）=0.18，
∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：
P（A$\overline{B}$+$\overline{A}$B）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=0.25×（1-0.18）+（1-0.25）×0.18=0.34，
两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，
都不发生洪水的概率为P（$\overline{A}\overline{B}$）=（1-0.25）（1-0.18）=0.615，
设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：

ξ	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．
（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，
但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，
而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，
∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．
对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，
比较知方案1最好．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数学期望的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．