Question

3．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，
有f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）证明：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令a=b=0，即可求解，
（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），利用互为倒数可知，结论成立；
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，结合当x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（4）利用函数的单调性以及抽象函数的关系进行求解即可．

解答 解：（1）令a=b=0，则f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1．
（2）令a=x，b=-x则 f（0）=f（x）f（-x），
∴f（-x）=

1

f（x）

由已知x＞0时，f（x）＞1＞0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（-x）=

1

f（x）

＞0
又x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0
（3）∵当x＞0时，f（x）＞1
∴设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（4）∵f（0）=1，
∴f（x）•f（2x-x²）＞1等价为f（x）•f（2x-x²）＞f（0），
即f（x+2x-x²）＞f（0），
∵函数f（x）在R上是单调递增函数．
∴x+2x-x²＞0，
即x²-3x＜0，
解得0＜x＜3，
即不等式的解集为（0，3）．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．考查学生的运算和推理能力，综合性较强．