Question

13．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶函数的定义进行判断；
（2）f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，等价于方程$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一个正根．对系数a讨论，得知．

解答 解：（1）f（x）为R上的偶函数，以下进行证明：…（1分）
易知，f（x）的定义域为R，关于原点对称；                                …（2分）
因为f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-$lo{g}_{4}{4}^{\frac{1}{2}x}$=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$．，
所以f（-x）=$lo{g}_{4}（{2}^{-x}+{2}^{x}）$=f（x），所以f（x）为R上的偶函数              …（6分）
（2）f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，只需方程$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一个实根，即方程${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}=a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a$有且只有一个实根．
令t=2^x＞0，则方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一个正根．             …（8分）
①a=1时t=-$\frac{3}{4}$，不合题意；
②若△=0则a=$\frac{3}{4}$或者a=-3；
若a=$\frac{3}{4}$，则t=-2，不合题意；若a=-3则t=$\frac{1}{2}$，符合题意
③若△＞0，则方程有两根，显然方程没有零根．
所以依题意知，方程有一个正根与一个负根，即$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{-1}{a-1}＜0}\end{array}\right.$解得a＞1，
综上所述：实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数奇偶性的判断以及借助于方程根的问题解决图象交点问题；属于中档题．