题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）若函数在区间 $数学公式$ 上的最小值为 $数学公式$ ，求实数a的值．

（1）∵ $\text{[math]}$ =1+cos（ $\text{[math]}$ -2x）+2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -a
=sin2x- $\text{[math]}$ cos2x+1+ $\text{[math]}$ -a= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，故周期为 T=π．
（2）令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故增区间为 $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
所以，当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，a=2．
分析：（1）化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由此求得函数周期．
（2）令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围，即得函数的单调递增区间．
（3）由x得范围求得 $\text{[math]}$ ，可得当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，函数取得最小值 $\text{[math]}$ ，由此求得 a 的值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调区间，属于中档题．