Question

6．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）•sinx-（sinx-cosx）²．
（ I）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（ II）若x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （ I））利用诱导公式和二倍角辅助角公式化简，结合三角函数的图象及性质即可求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（ II）x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求出内层函数的范围，结合三角函数的图象及性质即可求函数f（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）•sinx-（sinx-cosx）²．
化简可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin²x-1+2sinxcosx
=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）$+sin2x-1
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1+$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-1$．
（ I））函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$．
∴函数f（x）的递增区间为[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（ II）∵x∈[$\frac{π}{6}$，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{5π}{3}$]
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1．
故得f（x）的值域为[$\sqrt{3}-3$，$\sqrt{3}+1$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．