已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.左.右焦点分别为F1.F2,若圆x2+y2=a2被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)设过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A.B两点.是否存在过右焦点F2的直线l.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂；若圆x²+y²=a²被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过右焦点F₂的直线l与椭圆C交于A、B两点，是否存在过右焦点F₂的直线l，使得以AB为直径的圆过左焦点F₁，如果存在，求直线l的方程；如果不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）运用点到直线的距离公式，以及弦长公式，结合椭圆的离心率公式，计算可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l．当直线l与y轴垂直时，不合题意；可设l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，由以AB为直径的圆过左焦点F₁，又F₁（-1，0），F₂（1，0）可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得m的值，即可判断存在直线l，求得l的方程．

解答解：（Ⅰ）圆心O到直线x-y-$\sqrt{2}$=0的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，
由圆x²+y²=a²被直线$x-y-\sqrt{2}=0$截得的弦长为2，
可得2=2$\sqrt{{a}^{2}-1}$
解得a=$\sqrt{2}$，
由椭圆C离心率为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得c=1，
则b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l．
当直线l与y轴垂直时，不合题意；可设l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$，消x得（m²+2）y²+2my-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$，
由以AB为直径的圆过左焦点F₁，又F₁（-1，0），F₂（1，0）
可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
得x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=0，
而${x_1}{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）=\frac{{2-2{m^2}}}{{{m^2}+2}}$，
${x_1}+{x_2}=m{y_1}+1+m{y_2}+1=\frac{4}{{{m^2}+2}}$．
可得$\frac{{2-2{m^2}}}{{{m^2}+2}}+\frac{4}{{{m^2}+2}}+\frac{-1}{{{m^2}+2}}+1=0$，
解得$m=±\sqrt{7}$
故存在直线l，l的方程为：$x+\sqrt{7}y-1=0$或$x-\sqrt{7}y-1=0$．