Question

19．设函数f（x）=ax+b-xlnx（a＞0），g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，若直线y=e-x是曲线C：y=f（x）的一条切线，其中e是自然对数的底数，且f（1）=1
（I）求a，b的值．
（Ⅱ）设0＜n＜m＜1，证明：f（m）＞g（n）

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，设出切点（s，t），求得切线的斜率，由切线方程，可得a=lns，b=e-s，再由f（1）=1，可得lns-s=1-e，由y=lns-s的单调性，结合s=e＞1，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=x-xlnx，g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，由f（x）-g（x）=x（1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$），令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，求出导数判断单调性，即可得证．

解答 解：（I）f（x）=ax+b-xlnx的导数为f′（x）=a-（1+lnx），
设切点为（s，t），可得as+b-slns=t，t=e-s，
由切线的方程y=e-x，可得a-（1+lns）=-1，即a=lns，
可得b=e-s，
由f（1）=1，可得a+b=1，即lns-s=1-e，
由lns-s的导数为$\frac{1}{s}$-1，可得s＞1时，函数lns-s递减；
0＜s＜1时，函数lns-s递增．
又s=e时，lns-s=1-e，
即有方程lns-s=1-e的解为s=e，
可得a=1，b=0；
（Ⅱ）证明：f（x）=x-xlnx，g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，
由f（x）-g（x）=x（1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$），
令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，h′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{4x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{（1-{x}^{2}）^{2}}{x（1+{x}^{2}）^{2}}$＜0，
即有h（x）在（0，1）递减，可得h（x）＞h（1）=0，
可得f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x），
即有0＜n＜m＜1，f（m）＞g（n）成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用构造函数，判断单调性，考查化简运算能力，属于中档题．