Question

设f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），f（x）为偶函数，且部分图象如图所示，△KML为等腰直角三角形，其中∠KML=90°，|KL|=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求在[0，10]上的单调递增区间；
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有两个不同的实根，试求a的取值范围，并求两根之和．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求f（x）的解析式．
（2）由2kπ+π≤

π

2

x≤2kπ+2π，k∈Z，可解得在[0，10]上的单调递增区间．
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有两个不同的实根，则直线y=a和函数f（x）的图象在（0，

8

3

）上有两个不同的交点，数形结合可得a的范围．

解答： 解：（1）因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，
由△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=2．
所以A=1，T=4，因为T=

2π

ω

，所以ω=

π

2

，
函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=

π

2

，
∴函数的解析式为：f（x）=sin（

π

2

x+

π

2

）=cos

π

2

x，
（2）∵f（x）=cos

π

2

x，
∴由2kπ+π≤

π

2

x≤2kπ+2π，k∈Z，可解得：4k+2≤x≤4k+4，k∈Z，
∴当k=0时，x∈[2，4]，当k=1时，x∈[6，8]
∴在[0，10]上的单调递增区间是：[2，4]∪[6，8]．
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有两个不同的实根，则直线y=a和函数f（x）的图象在（0，

8

3

）上有两个不同的交点，如图所示：

设t=

π

2

x，
∵x∈[0，

8

3

]，
∴

π

2

x∈[0，

4π

3

]，
即t∈[0，

4π

3

]，则函数y=g（t）=cost，t∈[0，

4π

3

]，
当t=

4π

3

时，y=g（t）=-

1

2

，此时f（x）=m有2个根，
当t=π时，y=g（t）=-1，此时f（x）=m有1个根，
∴要使方程f（x）=a有两个不相等的实根，则-1＜a＜-

1

2

．
故a的取值范围为（-1，-

1

2

）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．