Question

9．如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，E、F分别是BC，CC₁的中点，
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）设AB的中点为D，∠CA₁D=45°，求平面CA₁D与平面ABC所成的锐二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AE⊥CC₁，从而得到AE⊥平面B₁BCC₁，由此能证明平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）过点A作AG⊥AC，以AG，AC，AA₁为x，y，x建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CA₁D与平面ABC所成的锐二面角的正弦值．

解答 证明：（1）∵三棱锥ABC-A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥CC₁，
∵△ABC是等边三角形，且E是BC中点，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，
∵AE?平面ABC，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）过点A作AG⊥AC，以AG，AC，AA₁为x，y，x建立空间直角坐标系，设AA₁=a，
A₁（0，0，a），C（0，4，0），D（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，-a），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{3}，1，-a$），
∴|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{A}_{1}D}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{3}，1，-2\sqrt{2}$），
设平面A₁CD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=4y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=\sqrt{3}x+y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{2}$），
平面ABC的法向量设为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面A₁CD与平面ABC所成角为θ，
cosθ=cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面CA₁D与平面ABC所成的锐二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．